Việt Nam TST 2009

Bài toán. Với a,\,b,\,c là các số thực dương. Hãy tìm tất cả các giá trị của số thực k sao cho bất đẳng thức dưới đây luôn đúng

\displaystyle \left(k+\frac{a}{b+c}\right) \left(k+\frac{b}{c+a}\right) \left(k+\frac{c}{a+b}\right) \geqslant \left(k+\frac{1}{2}\right)^3.

(Trần Nam Dũng, Việt Nam TST 2009)

Lời giải. Đặt

\displaystyle P = \left(k+\frac{a}{b+c}\right) \left(k+\frac{b}{c+a}\right) \left(k+\frac{c}{a+b}\right) - \left(k+\frac{1}{2}\right)^3,

thì

\displaystyle P = \frac{2[4k^2(a+b)+(2k-1)c](a-b)^2+\left[(4k^2+2k-1)(a+b)+8k^2c\right](a-c)(b-c) }{8(a+b)(b+c)(c+a)}.

Cho c \to 0 ta thấy P \geqslant 0 nếu 4k^2+2k-1 \geqslant 0, còn khi 4k^2+2k-1 \geqslant 0, ta giả sử c = \min\{a,\,b,\,c\}, sẽ thấy P \geqslant 0.

Tóm lại 4k^2+2k-1 \geqslant 0 là giá trị cần tìm.

Nhận xét. Một phân tích khác

\displaystyle P = \frac{\displaystyle 4[4k^2+(4k^2+2k-1)]c \sum (a-b)^2+X\left[(4k^2+2k-1)X^2+(28k^2-2k+1)(a-b)^2\right] }{32(a+b)(b+c)(c+a)},

trong đó X = a+b-2c.

Advertisements

Olympic 30/4/2001

Với mọi số thực a,\,b,\,c khác 0 ta có

\displaystyle1 0 - (a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right) + \frac{(2a-b)(2b-c)(2c-a)+(2a-c)(2b-a)(2c-b)}{2abc}.

Từ đẳng thức này nếu cho a,\,b,\,c \in [1,2] ta sẽ được câu bất đẳng thức trong đề thi Olynpic 30/4 năm 2001 dưới đây

\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \leqslant 10. \quad (1)

Với cùng điều kiện a,\,b,\,c \in [1,2] ta còn có

\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \leqslant 5. \quad (2)

Mình đã thử tìm cách so sánh (1) với (2) và thu được một kết quả khá thú vị

\displaystyle 5 + \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \leqslant (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \leqslant 10-\frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}.

Four degree Schur’s Inequality

Hôm nay rảnh rỗi ngồi vọc Maple thì phát hiện được đẳng thức sau:

Với mọi số thực a,\,b,\,c ta luôn có

\displaystyle \sum a^2(a-b)(a-c) = \frac{\displaystyle\left[\sum a(a-b)(a-c)\right]^2 + 3(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{\displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}.

Từ đẳng thức này ta có thể suy ra bất đẳng thức Schur bậc bốn và thấy rằng nó vấn đúng trong trường hợp các biến thực. Ngoài ra từ đây còn thu được một bất đẳng thức khá đẹp là

\displaystyle \sum a^2(a-b)(a-c) \geqslant \frac{4(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{\displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}.

Mình nhớ không nhầm thì bài này có trong tài liệu Discrete Inequalities của giáo sư Vasile Cîrtoaje.