Một tiêu chuẩn SOS

Bài toán. Với a,\,b,\,c là các số thực. Chứng minh rằng nếu S_a + S_b + S_c \geqslant 0,S_a S_b + S_bS_c + S_cS_a \geqslant 0, khi đó

f(a,b,c) = S_c(a-b)^2 + S_b(c-a)^2 + S_a(b-c)^2 \geqslant 0.

Lời giải. Ta có (S_a + S_b)+(S_b + S_c)+(S_c+S_a )=2(S_a + S_b + S_c)\geqslant 0, do đó ta có thể giả sử S_b+S_c \geqslant 0. Lúc này

\displaystyle f(a,b,c)= \frac{(aS_b+aS_c-bS_c-cS_b)^2 + (b-c)^2(S_a S_b + S_bS_c + S_cS_a)}{S_b+S_c} \geqslant 0.

Ta có điều phải chứng minh.

Advertisements

Việt Nam TST 2009

Bài toán. Với a,\,b,\,c là các số thực dương. Hãy tìm tất cả các giá trị của số thực k sao cho bất đẳng thức dưới đây luôn đúng

\displaystyle \left(k+\frac{a}{b+c}\right) \left(k+\frac{b}{c+a}\right) \left(k+\frac{c}{a+b}\right) \geqslant \left(k+\frac{1}{2}\right)^3.

(Trần Nam Dũng, Việt Nam TST 2009)

Lời giải. Đặt

\displaystyle P = \left(k+\frac{a}{b+c}\right) \left(k+\frac{b}{c+a}\right) \left(k+\frac{c}{a+b}\right) - \left(k+\frac{1}{2}\right)^3,

thì

\displaystyle P = \frac{2[4k^2(a+b)+(2k-1)c](a-b)^2+\left[(4k^2+2k-1)(a+b)+8k^2c\right](a-c)(b-c) }{8(a+b)(b+c)(c+a)}.

Cho c \to 0 ta thấy P \geqslant 0 nếu 4k^2+2k-1 \geqslant 0, còn khi 4k^2+2k-1 \geqslant 0, ta giả sử c = \min\{a,\,b,\,c\}, sẽ thấy P \geqslant 0.

Tóm lại 4k^2+2k-1 \geqslant 0 là giá trị cần tìm.

Nhận xét. Một phân tích khác

\displaystyle P = \frac{\displaystyle 4[4k^2+(4k^2+2k-1)]c \sum (a-b)^2+X\left[(4k^2+2k-1)X^2+(28k^2-2k+1)(a-b)^2\right] }{32(a+b)(b+c)(c+a)},

trong đó X = a+b-2c.

Olympic 30/4/2001

Với mọi số thực a,\,b,\,c khác 0 ta có

\displaystyle1 0 - (a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right) = \frac{(2a-b)(2b-c)(2c-a)+(2a-c)(2b-a)(2c-b)}{2abc}.

Từ đẳng thức này nếu cho a,\,b,\,c \in [1,2] ta sẽ được câu bất đẳng thức trong đề thi Olynpic 30/4 năm 2001 dưới đây

\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \leqslant 10. \quad (1)

Với cùng điều kiện a,\,b,\,c \in [1,2] ta còn có

\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \leqslant 5. \quad (2)

Mình đã thử tìm cách so sánh (1) với (2) và thu được một kết quả khá thú vị

\displaystyle 5 + \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \leqslant (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \leqslant 10-\frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}.