Month: April 2017

Việt Nam MO 2008

Bài toán. (Trần Nam Dũng, Việt Nam MO 2008) Cho ba số thực không âm x,\,y,\,z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}\geqslant\frac{4}{xy+yz+zx}.

Lời giải 1. (Sui Zhen Lin) Ta có

\displaystyle(xy+yz+zx) \sum \frac{1}{(x-y)^2} = 4 + \sum \frac{xy(x^2+y^2-z^2-3xy+yz+zx)^2}{(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2} \geqslant 4.

Lời giải. (Nguyễn Văn Huyện) Ta chuyển bài toán về uvw như sau

\displaystyle \frac{3(u^2-v^2)^2}{\displaystyle 3u^2v^4+6uv^2w^3-4u^3w^3-4v^6-w^6} \geqslant \frac{4}{3v^2},

hay là

f = 9u^4v^2+16u^3w^3-30u^2v^4-24uv^2w^3+25v^6+4w^6 \geqslant 0

Nếu 2u^2-3v^2 \geqslant 0 thì

f = v^2(3u^2-5v^2)^2+4w^3\left[2u(2u^2-3v^2)+w^3\right] \geqslant 0.

Nếu 3v^2-2u^2 \geqslant 0 thì

\displaystyle f = 4(2u^3-3uv^2+w^3)^2+\frac13\left[2u^2+25(3v^2-2u^2)\right](u^2-v^2)^2 \geqslant 0.

Bài toán được chứng minh.

Nhận xét.

1) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức ban đầu ta sẽ được

\displaystyle \frac{\displaystyle z(2x+2y-z)\left[\sum (x^2 - yz)\right]^2+(x-z)(y-z)(x^2+y^2-z^2-3xy+zx+yz+zx)^2}{(xy+yz+zx)(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}.

Giả sử z = \min \{x,y,z\} và thấy rằng biểu thức này không âm.